【题目】
如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)证明:BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)利用长方体的性质,可以知道侧面
,利用线面垂直的性质可以证明出
,这样可以利用线面垂直的判定定理,证明出
平面
;
(2)以点坐标原点,以
分别为
轴,建立空间直角坐标系,
设正方形的边长为
,
,求出相应点的坐标,利用
,可以求出
之间的关系,分别求出平面
、平面
的法向量,利用空间向量的数量积公式求出二面角
的余弦值的绝对值,最后利用同角的三角函数关系,求出二面角
的正弦值.
证明(1)因为是长方体,所以
侧面
,而
平面
,所以
又,
,
平面
,因此
平面
;
(2)以点坐标原点,以
分别为
轴,建立如下图所示的空间直角坐标系,
,
因为,所以
,
所以,
,
设是平面
的法向量,
所以,
设是平面
的法向量,
所以,
二面角的余弦值的绝对值为
,
所以二面角的正弦值为
.
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【题目】如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且.D为线段AC的中点.
(1)求证:平面平面
;
(2)若点E在线段PB上,且,求三棱锥
体积的最大值.
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【题目】已知抛物线,其中
.点
在
的焦点
的右侧,且
到
的准线的距离是
与
距离的3倍.经过点
的直线与抛物线
交于不同的
两点,直线
与直线
交于点
,经过点
且与直线
垂直的直线
交
轴于点
.
(1)求抛物线的方程和的坐标;
(2)判断直线与直线
的位置关系,并说明理由.
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【题目】是空气质量的一个重要指标,我国
标准采用世卫组织设定的最宽限值,即
日均值在
以下空气质量为一级,在
之间空气质量为二级,在
以上空气质量为超标.如图是某地
月
日到
日
日均值(单位:
)的统计数据,则下列叙述不正确的是( )
A.从日到
日,
日均值逐渐降低
B.这天的
日均值的中位数是
C.这天中
日均值的平均数是
D.从这天的日均
监测数据中随机抽出一天的数据,空气质量为一级的概率是
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【题目】年
月,电影《毒液》在中国上映,为了了解江西观众的满意度,某影院随机调查了本市观看影片的观众,现从调查人群中随机抽取部分观众.并用如图所示的表格记录了他们的满意度分数(
分制),若分数不低于
分,则称该观众为“满意观众”,请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表(如图所示),解决下列问题.
组别 | 分组 | 频数 | 频率 |
第 | |||
第 | |||
第 | |||
第 | |||
第 | |||
合计 |
(1)写出、
的值;
(2)画出频率分布直方图,估算中位数;
(3)在选取的样本中,从满意观众中随机抽取名观众领取奖品,求所抽取的
名观众中至少有
名观众来自第
组的概率.
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