Question

已知曲线 y=x³+x-3 在点 P₀处的切线l₁ 平行直线4x-y-1=0，且点 P₀在第三象限．
（1）求P₀的坐标；
（2）若直线y=4x+a与曲线y=x³+x-3有两个不同的交点，求实数a的值．

Answer 1

（1）由 y=x³+x-3，得y′=3x²+1，
由已知得3x²+1=4，解之得x=±1．
当x=1时，y=0；
当x=-1时，y=-4．
又∵点P₀在第三象限，
∴切点P0的坐标为（-1，-4）；
（2）原题可转化为方程4x+a=x³+x-2有两个不相等的实数根，
即方程x³-3x-2=a有两个不相等的实数根，
易得函数f（x）=x³-3x-2的极小值是f（1）=-4，极大值是f（-1）=0，
从而可知a=0或a=-4．