Question

【题目】已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线经过点且与椭圆相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）1。

【解析】

(1) 由椭圆的方程可知，椭圆的焦点在轴上，经过点，可以求出，长轴长是短轴长的2倍，可以求出，由此可以求出椭圆的标准方程。

（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，根据一元二次方程根与系数的关系，对进行化简。

（1）由椭圆可知椭圆的焦点在轴上，经过点所以=1，又因为长轴长是短轴长的2倍，所以=2，因此椭圆的标准方程为：。

（2）若直线的斜率不存在，即直线的方程为，与椭圆只有一个交点，不符合题意。

设直线的斜率为，若=0，直线与椭圆只有一个交点，不符合题意，故。

所以直线的方程为，即， 直线的方程与椭圆的标准方程联立得：消去得，，

设，则，

，

把代入上式，得

，命题得证。