Question

已知点P（0，b）是y轴上的动点，点F（1，0）、M（a，0）满足PM⊥PF，动点N满足．
（1）求动点N所在曲线C的方程．
（2）已知点D（1，2）在曲线C上，若曲线C上两点A、B（都不同于D点）满足DA⊥DB，试证明直线AB必过定点，并求出这个定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）设动点N（x，y），由于PM⊥PF，动点N满足．用坐标表示向量，可得坐标之间的关系，进而化简方程即可；
（2）利用DA⊥DB，用坐标表示对应的向量，从而有数量积为0，进而有y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20．代入直线AB的方程，即可知直线恒过定点．
解答：解：（1）设动点N（x，y）． （1分）
依据题意，有，．（3分）
又，则，进一步有．
因此，y²=4x（x≥0）．      （7分）
所以曲线C的方程是y²=4x（x≥0）．     （8分）
证明 （2）因A、B是曲线C：y²=4x（x≥0）上不同于D点的两点，
可设、，则、，．                     （10分）
又DA⊥DB，故，
进一步化简得y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20．        （12分）
由直线AB的法向量为，可得直线AB的方程：，
即．把y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20代入此方程，得．（14分）
进一步把直线AB的方程化为，知其恒过定点（5，-2）．（15分）
所以直线AB：恒过定点，且定点坐标为（5，-2）．    （16分）
证毕！
点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的位置关系，主要考查轨迹方程的求解，考查直线恒过定点问题，关键是用坐标表示向量，利用向量的数量积为0解决，恒过定点应注意其求解的策略．