Question

【题目】已知数列 的各项均为正整数，对于任意n∈N* ， 都有 成立，且 ．
（1）求 ， 的值；
（2）猜想数列 的通项公式，并给出证明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因为 ，

当 时，由 ，即有 ，

解得 ．因为 为正整数，故 ．

当 时，由 ，

解得 ，所以 ．

（2）

解：由 ， ， ，猜想：

下面用数学归纳法证明．

①当 ， ， 时，由（1）知 均成立．

②假设 成立，则 ，

由条件得 ，

所以 ，

所以

因为 ， ， ，

又 ，所以 ．

即 时， 也成立．

由①，②知，对任意 ， ．

【解析】本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）先列出 所满足条件 ，化简得 ，再根据数列 的各项均为正整数这一限制条件求出 ，同理可得 （2）猜想： ，用数学归纳法证明的关键由k成立推出k+1成立，其推导思路同（1）：由条件得 ，所以 ，所以 因为 ， ， ，所以