Question

（2011•黄冈模拟）已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=1，且点(

an

，an+1)(n∈N*)在函数y=x²+1的图象上．数列{b_n}满足b₁=0，b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=a_nb_ncosnπ（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件知a_n+1=a_n+1，根据等差数列的定义：{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，从而a_n=n，根据b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^*），可得b_n+1-b_n=3ⁿ（n∈N^*）．累加可求和，从而得{b_n}的通项公式；
 （II）根据c_n=a_nb_ncosnπ（n∈N^*），可得cn=

-n(3n-3)，n为奇数 n(3n-3)，n为偶数

，再分n为偶数，奇数分别求和即可

解答：解：（Ⅰ）因为点（

an

，an+1）（n∈N*）在函数y=x²+1的图象上
所以a_n+1=a_n+1
根据等差数列的定义：{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列
所以a_n=n
∵b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^*）．
∴b_n+1-b_n=3ⁿ（n∈N^*）．
∴bn=3+32+…+3n-1=

1

2

×3n-

3

2

（II）∵c_n=a_nb_ncosnπ（n∈N^*），
∴cn=

-n(3n-3)，n为奇数 n(3n-3)，n为偶数

当n为偶数时，S_n=（-3+2•3²+…+n•3ⁿ）+3[1-2+3-4+…+（n-1）-n]
设T_n=（-3+2•3²+…+n•3ⁿ），则3T_n=-3²+2•3³+…+n•3ⁿ⁺¹
∴Tn=

1

16

[-3+(4n+1)•3n+1]
∴Sn=

(4n+1)•3n+1+24n+21

16

当n为奇数时，Sn=Sn-1+cn=

-(4n+1)•3n+1+24n+21

16

∴Sn=

-(4n+1)•3n+1+24n+21 16 ，n为奇数 (4n+1)•3n+1+24n+21 16 ，n为偶数

点评：本题以函数为载体，考查数列的概念和性质及其应用，，考查错位相减法求和，解题时要注意公式的灵活运用．