Question

【题目】在数列{an}和{bn}中，a1= ，{an}的前n项为Sn ， 满足Sn+1+（ ）n+1=Sn+（ ）n（n∈N*），bn=（2n+1）an ， {bn}的前n项和为Tn ．
（1）求数列{bn}的通项公式bn以及Tn ．
（2）若T1+T3 ， mT2 ， 3（T2+T3）成等差数列，求实数m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn+1+（ ）n+1=Sn+（ ）n（n∈N*），∴an+1=Sn+1﹣Sn= ﹣ = ．

∴n≥2时，an= ，又a1= ，因此n=1时也成立．

∴an= ，

∴bn=（2n+1）an=（2n+1）× ．

∴Tn= + + +…+ ，

= +…+ + ，

∴ = ﹣ = +2× ﹣ ，

∴Tn=5﹣

（2）解：由（1）可得：T1= ，T2= ，T3= ．

∵T1+T3，mT2，3（T2+T3）成等差数列，∴ + +3×（ + ）=2× ，

解得m=

【解析】（1）由Sn+1+（ ）n+1=Sn+（ ）n（n∈N*），可得an+1=Sn+1﹣Sn= ．可得an= ，bn=（2n+1）an=（2n+1）× ．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．（2）由（1）可得：T1= ，T2= ，T3= ．利用T1+T3 ， mT2 ， 3（T2+T3）成等差数列，即可得出．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和等差数列的性质的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列才能正确解答此题．