Question

直三棱柱中，，，、分别为、的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求四面体的体积．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)先证AB⊥平面BB₁C₁C.又Ｎ、Ｆ分别为A₁ C₁、B₁ C₁的中点，证出NF⊥平面BB₁C₁C. NF⊥FC .

证得FC⊥平面NFB.  

(Ⅱ)．

【解析】

试题分析：(Ⅰ)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,

B₁B⊥AB, BC⊥AB,又B₁BBC=B，

∴AB⊥平面BB₁C₁C.

又Ｎ、Ｆ分别为A₁ C₁、B₁ C₁的中点

∴AB∥A₁B₁∥NF.

∴NF⊥平面BB₁C₁C.

因为FC平面BB₁C₁C.所以NF⊥FC .

取BC中点G，有BG=GF=GC.∴BF⊥FC ，又 NFFB=F，

∴FC⊥平面NFB.           7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,,

．            14分

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，体积计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，若利用向量则可简化证明过程。（2）体积计算中，运用了“等积法”。