Question

如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=

2

，ED∥AF且∠DAF=90°．
（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；
（2）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）AC、AD、AB两两垂直，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面BEF的法向量，求出向量

DB

和

n

=(2，0，1)所成角的余弦即为BD和面BEF所成的角的正弦值．
（2）设EP与PF的比值为m，表示出p的坐标，求出

AP

，

BP

坐标，令

DP

与

AP

，

BP

的数量积为0，列出方程，求出m的值．

解答：解：（1）因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，

则B（2，0，0），D（0，0，2），
E（1，1，2），F（2，2，0），
则

DB

=(2，0，-2)，

BE

=(-1，1，2)，

BF

=(0，2，0)
设平面BEF的法向量

n

=(x，y，z)，
则

-x+y+2z=0 y=0

令z=1得

n

=(2，0，1)，
∴向量

DB

和

n

=(2，0，1)所成角的余弦为

2•2+0-2

22+12 22+(-2)2

=

10

10

．
即BD和面BEF所成的角的正弦

10

10

．
所以BD和面BEF所成的角的余弦

3 10

10

（2）假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设EP与PF的比值为m，
则P点坐标为(

1+2m

1+m

，

1+2m

1+m

，

2

1+m

)，

则向量

AP

=(

1+2m

1+m

，

1+2m

1+m

，

2

1+m

)，
向量

CP

=(

1+2m

1+m

，-

1

1+m

，

2

1+m

)，
所以2

1+2m

1+m

+0

1+2m

1+m

+(-2)

2

1+m

=0，所以m=

1

2

．
所以存在p，求EP与PF的比值

1

2

点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求．