Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P（0，2）的直线l（不过原点O）与椭圆C交于两点A、B，M为线段AB的中点．

（ⅰ）证明：直线OM与l的斜率乘积为定值；

（ⅱ）求△OAB面积的最大值及此时l的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）△AOB面积的最大值是，此时l的斜率为±.

【解析】

（1）由题意得，解得即可求出方程，

（2）（i）设直线l为：y=kx+2，根据韦达定理和斜率公式即可求出，

（ii）先根据弦长公式求出|AB|及原点到直线的距离，再令=t，表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求出．

解：（1）由题意得，解得，

∴a2=2，b2=a2-c2=1，

∴椭圆C的方程为；

（2）（ⅰ）设直线l为：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），

由题意得，∴（1+2k2）x2+8kx+6=0，

∴△=8（2k2-3）＞0，即，

由韦达定理得：x1+x2=-，x1x2=，

∴，，

∴，∴，

∴直线OM与l的斜率乘积为定值．

（ⅱ）由（ⅰ）可知： ，

原点到直线AB的距离为

令=t，则t＞0，

∴S△AOB==≤=，

当且仅当t=2时等号成立，此时k=±，且满足△＞0，

∴△AOB面积的最大值是，此时l的斜率为±．