Question

【题目】设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：x∈R都有f（x）+f（﹣x）=0，且x=1时，f（x）取极小值 ．

（1）f（x）的解析式；

（2）当x∈[﹣1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：

（3）设F（x）=|xf（x）|，证明： 时， ．

Answer 1

【答案】（1） （2）见解析（3）见解析

【解析】解：（1）因为，x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，所以：b=d=0，

由：f'（1）=0，得3a+c=0，由：，得

解之得：，c=﹣1从而，函数解析式为：

（2）由于，f'（x）=x2﹣1，

设：任意两数x1，x2∈[﹣1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，

则这两点的切线的斜率分别是：k1=f'（x1）=x12﹣1，k2=f'（x2）=x22﹣1

又因为：﹣1≤x1≤1，﹣1≤x2≤1，所以，k1≤0，k2≤0，得：k1k2≥0知：k1k2≠﹣1

故，当x∈[﹣1，1]是函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直）

（3）当：时，x2∈（0，3）且3﹣x2＞0此时F（x）=|xf（x）|===

当且仅当：x2=3﹣x2，即，取等号，故；