Question

（本小题满分14分）
已知函数．
(Ⅰ) 求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数g(x)=x³ +x²在区间上总存在极值？
（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，
使得成立，试求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.
（Ⅱ）当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值.
（Ⅲ）

试题分析：(I)求导，根据导数大（小）于零，求得函数f(x)的增（减）区间，要注意含参时对参数进行讨论.
（II）根据可得，从而可求出,进而得到,那么本小题就转化为有两个不等实根且至少有一个在区间内,然后结合二次函数的图像及性质求解即可.
(III)当a=2时，令，则
.
然后对p分和两种情况利用导数进行求解即可.
（Ⅰ）由知
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.
（Ⅱ）由,    ∴，.   
故，
∴．
∵ 函数在区间上总存在极值，
∴有两个不等实根且至少有一个在区间内
又∵函数是开口向上的二次函数，且，
∴ 由，
∵在上单调递减，所以； 
∴，由，解得；
综上得： 
所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值.
（Ⅲ）令，则
.
①当时，由得，从而,
所以，在上不存在使得；
②当时，,，
在上恒成立，
故在上单调递增.
 
故只要，解得
综上所述， 的取值范围是
点评：利用导数求单调区间时，要注意含参时要进行讨论，并且对于与不等式结合的综合性比较强的题目，要注意解决不等式问题时，构造函数利用导数研究单调性极值最值研究.