Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）证明：，.

Answer 1

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）见解析

【解析】

（1）根据函数的解析式求得导函数，可由的符号判断函数的单调性，并由极值点求得极值.

（2）将函数的解析式代入不等式，并构造函数，求得，再构造函数，并求得，由可知在上单调递增，由零点存在定理可知在内有唯一解，记为，满足.进而由的符号判断单调性，即可求得的函数表达式，根据二次函数在定区间上的值域即可判断恒成立，即证明不等式成立.

（1）函数，，

则，

由可知在上单调递增，且，

故当时，，

当时，，

故函数有极小值，无极大值；

（2）证明：依题意对，，即；

设，则，设.

因为，所以在上单调递增.

又因为，，

所以在内有唯一解，记为，即.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，.

设，，则，

所以，

所以，即，.