Question

设二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)=0的两个实根的平方和为10,f(x)的图象过点(0,3),求f(x)的解析式.

Answer 1

思路分析:要求的函数为二次函数,一般可设其为f(x)=ax²+bx+c(a≠0),然后根据已知条件求出系数a、b、c,从而求得该二次函数.由于本题条件f(2+x)=f(2-x)隐含着函数f(x)的图象关于直线x=2对称,故可设函数f(x)=a(x-2) ²+k.

解:∵f(2+x)=f(2-x),

∴f(x)的图象关于直线x=2对称.

于是,设f(x)=a(x-2) ²+k(a≠0),

则由f(0)=3,可得k=3-4a,

∴f(x)=a(x-2) ²+3-4a=ax²-4ax+3.

∵ax²-4ax+3=0的两实根的平方和为10,

∴10=x₁²+x₂²=(x₁+x₂) ²-2x₁x₂=16-,∴a=1.

∴f(x)=(x-2) ²-1=x²-4x+3.

说明:解题的过程就是运用已知条件的过程,已知条件要用得能揭露题目的本质(越彻底越好).如果设f(x)=ax²+bx+c(a≠0),运用条件f(2+x)=f(2-x)也能求得b=-4a,但不如采用上述对称法对问题揭露得彻底.

本题解法为待定系数法,它适用于已知函数的思路解析式的类型(例如一次函数、二次函数等)及函数的某些特征求该函数的问题,关键在于快捷地求出待定常数.