Question

【题目】已知函数，.

（1）若，，求函数在处的切线方程；

（2）若，且是函数的一个极值点，确定的单调区间；

（3）若，且对任意，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；（3）.

【解析】

（1）求得和后，即可利用导数的几何意义得到所求的切线方程；

（2）根据极值点的定义可确定，由此可得，分别在和两种情况下根据导函数的正负确定原函数的单调区间；

（3）将恒成立的不等式化为，①当时，由恒成立可知，满足题意；②当时，由时可知，满足题意；由零点存在定理可验证出和时存在的区间，不满足题意；综合几种情况可得最终结果.

（1）当，时，，

则，，，

在处的切线方程为，即.

（2）当时，，，

是的一个极值点，，，

，

令，解得：，，

是一个极值点，，即，

①当，即时，

若和，；若，，

的单调递增区间为，，单调递减区间为；

②当，即时，

若和，；若，，

的单调递增区间为，，单调递减区间为；

综上所述：当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.

（3）当，时，对任意恒成立，

即对任意恒成立.

令，

则，

，，

①当时，对任意，恒成立，

在上单调递减，，满足题意；

②当时，

当时，，在上单调递减，，

⑴当时，，在上单调递减，

，

i.当时，，在上单调递减，

，满足题意；

ii.当时，由，，

，使得，则在上单调递增，

当时，，不满足题意；

⑵当时，由，当时，，

，使得，在上恒成立，

在上单调递增，，

在上单调递增，，不满足题意；

综上所述：实数的取值范围为.