Question

曲线C：f（x）=x³+ax+b关于坐标原点对称，且与x轴相切．
（1）求a，b的值；
（2）若曲线G：h（x）=λ•

f′(x)

x

+sinx上存在相互垂直的两条切线，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在实数m，n，使函数g（x）=3-|f（x）|的定义域与值域均为[m，n]？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件，说明函数是奇函数，求出b的值，利用函数与x轴相切，求出a的值即可；
（2）利用h（x）=λ•

f′(x)

x

+sinx的导数，通过曲线上存在相互垂直的两条切线，斜率乘积为-1，通过三角函数的有界性，求实数λ的取值范围；
（3）假设存在m，n符合题意：通过（A）当m＜0时，可得

g(m)=m g(n)=n

，即m，n是方程g（x）=x的两个相异负根，推出p（x）=x³-x+3（x＜3），p′（x）故p（x）至多在（-∞，-

3

3

）有一个零点，此时m，n不存在．
通过（B）当m≥0时，因g（x）=3-x³在区间[m，n]上是减函数，利用

g(m)=n g(n)=m

⇒

m3+n=3 n3+m=3

，与条件矛盾，此时m，n不存在
通过（C）当m＜0≤n时，说明p（x）=x³-x+3在（-∞，-24]上递增，推出无满足m的解，不存在．

解答：解：（1）由f（-x）=-f（x）可得，b=0，
设曲线C与x轴切于T（t，0），
则

f(t)=0 f′(t)=0

⇒

t3+at=0 3t2+a=0

⇒a=t=0⇒f（x）=x³．
（2）h（x）=λ•

f′(x)

x

+sinx=3λx+sinx，h′（x）=3λ+cosx（x≠0），
设切点（t₁，h（t₁））（t₂，h（t₂））⇒h′（t₁）•h′（t₂）=-1
则（3λ+cost₁）（3λ+cost₂）=-1，⇒9λ²+3（cost₁+cost₂）λ+cost₁cost₂+1=0．
故△=9（cost₁+cost₂）²-36（cost₁cost₂+1）≥0⇒（cost₁-cost₂）²≥4，
又-1≤cost₁cost₂≤1⇒（cost₁-cost₂）²≤4⇒cost₁-cost₂=4，
此时cost₁=1，cost₂=-1或者cost₁=-1，cost₂=1可得λ=0．
（3）g（x）=

3+x2     ， x＜0 3-x2 ，  x≥0

，假设存在m，n符合题意：
（A）当m＜0时，可得

g(m)=m g(n)=n

，即m，n是方程g（x）=x的两个相异负根，得x³-x+3=0，
令p（x）=x³-x+3（x＜3），p′（x）=3x²-1=0⇒x=-

3

3

．
考虑
，由于p（0）=3＞0，
故p（x）至多在（-∞，-

3

3

）有一个零点，此时m，n不存在
（B）当m≥0时，因g（x）=3-x³在区间[m，n]上是减函数，
故

g(m)=n g(n)=m

⇒

m3+n=3 n3+m=3

，
两式相减可得m²+mn+n²=1⇒（m+n）²-mn=1，
由于mn＜

(m+n)2

4

⇒(m+n)2-

(m+n)2

4

＜1⇒m+n＜

2

3

由0≤m＜n，⇒m＜

1

3

，n＜

2

3

⇒m3+n＜

7

3 3

＜3，与条件矛盾，
此时m，n不存在
（C）当m＜0≤n时，因为g（x）_max=g（0）=3⇒n=3，
若g（x）_min=g（3）=-24⇒m=-24，
，而g（-24）=3-24³＜g（x）_min，矛盾
若g（x）_min=g（m）=3+m³⇒3+m³=m    （*），
因g（3）=-24≥g（x）_min⇒m≤-24，根据情况（A）知p（x）=x³-x+3在（-∞，-24]上递增，
又p（-24）＜0，从而方程（*）无满足m≤-24的解，故不存在．
综上所述，不存在实数m，n，使函数的定义域与值域均为[m，n]．

点评：本题考查函数的导数与曲线的切线方程的求法，函数的零点，函数的值域的应用，考查分析问题与解决问题的能力，考查分类讨论思想的应用．