A
分析：由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=1时直线mx+y+1=0和直线x-my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+y+1=0和直线x-my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案
解答：当m=1时，两直线的方程分别为x+y+1=0，与x-y+3=0，可得出此两直线是垂直的
当两直线垂直时，
①当m=0时，符合题意，
②当m≠0时，两直线的斜率分别是-m与
，由两直线垂直得
得m∈R且m≠0
由上知，“m=1”可得出直线mx+y+1=0和直线x-my+3=0垂直；
由直线mx+y+1=0和直线x-my+3=0垂直”可得出m∈R
所以m=1是直线mx+y+1=0和直线x-my+3=0垂直的充分不必要条件
故选A．
点评：本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件，解题的关键是理解充分条件与必要条件的定义及两直线垂直的条件，本题的难点是由两直线垂直得出参数m的取值，此处也是一易错点，易忘记验证斜率不存在的情况，导致判断失误．
