Question

【题目】设是椭圆 的四个顶点，菱形的面积与其内切圆面积分别为， .椭圆的内接的重心(三条中线的交点)为坐标原点.

(1)求椭圆的方程；

(2) 的面积是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：

（I）由内切圆面积得半径，即为原点到直线PQ的距离，可得，又四边形PQRS的面积为，从而可得，解得得椭圆方程；

（II）可先求特殊情形下的三角形面积，即斜率不存在时，C为椭圆的左（右）顶点，求得面积为；当斜率存在时，设方程为，代入椭圆方程，并设，由韦达定理得，利用O是的重心，得表示出C点坐标，把C点坐标代入椭圆方程求得的关系式为，由圆锥曲线中的弦长公式求得弦长，求出C点到直线AB的距离，从而得三角形ABC的面积，代入刚才的关系式可得，因此结论为存在．

试题解析：

（Ⅰ）∵菱形的面积与其内切圆面积分别为，

∴，

，

联立解得， ，

故所求椭圆的方程为.

（Ⅱ）当直线斜率不存在时，

∵为的重心，∴为椭圆的左、右顶点，不妨设，

则直线的方程为，可得， 到直线的距离，

∴．

当直线的斜率存在时，设直线方程为： ， ， ．

联立，得，

则 ．

即，

， ，

∴．

∵为的重心，∴，

∵点在椭圆上，故有，

化简得．

∴ ．

又点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到）．

∴ ．

综上可得， 的面积为定值．