Question

【题目】已知为坐标原点，点，，过点作的平行线交于点.设点的轨迹为.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）已知直线与圆相切于点，且与曲线相交于，两点，的中点为，求三角形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由题意知，可知轨迹为椭圆，写出方程即可（Ⅱ）直线的斜率存在且不为0，利用直线与圆相切得，联立直线与椭圆，利用根与系数关系写出PQ中点N坐标写出PQ中垂线方程，利用圆心到直线的距离求出，化简求其最值，代入三角形面积公式即可求解.

（Ⅰ）因为，

故，

所以，

故，

由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：.

（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在且不为0，

设直线的方程为，

因为直线与圆相切，

所以，∴，

由消去得.

设，由韦达定理知：

.

所以中点的坐标为，

所以弦的垂直平分线方程为，

即 .

所以.

将代入得

（当且仅当，即时，取等号）.

所以三角形的面积为，

综上所述，三角形的面积的最大值为.