Question

已知定义在R上的奇函数f（x）单调递增，若f（x²-2x+a）+f（2-ax）＞0对x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为

（-∞，2）

．

Answer 1

分析：根据定义在R上的奇函数f（x）单调递增，可将f（x²-2x+a）+f（2-ax）＞0对x∈（1，+∞）恒成立，转化为a＜

x2-2x+2

x-1

=（x-1）+

1

x-1

在x∈（1，+∞）恒成立，根据基本不等式求出（x-1）+

1

x-1

的最值，可得实数a的取值范围

解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数f（x）单调递增，
若f（x²-2x+a）+f（2-ax）＞0在x∈（1，+∞）恒成立，
即f（x²-2x+a）＞-f（2-ax）=f（ax-2）
即x²-2x+a＞ax-2
即x²-2x+2＞ax-a
即a＜

x2-2x+2

x-1

=（x-1）+

1

x-1

在x∈（1，+∞）恒成立，
∵x∈（1，+∞）时，（x-1）+

1

x-1

≥2
故a＜2
故实数a的取值范围为（-∞，2）
故答案为：（-∞，2）

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，函数恒成立问题，基本不等式，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．