Question

已知函数，其中是自然对数的底数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的单调区间；
（3）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；（3）.

试题分析：(1) 利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切点坐标，最后根据点斜式直线方程求切线方程；(2)利用导数的正负分析原函数的单调性，注意在解不等式时需要对参数的范围进行讨论；(3)根据单调性求函数的极值，根据其图像交点的个数确定两个函数极值的大小关系，然后解对应的不等式.
试题解析：（1）因为，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为.
又因为，
所以所求切线方程为，即．         2分
（2），
①若，当或时，；当时，.
所以的单调递减区间为，；
单调递增区间为.                    4分
②若，，
所以的单调递减区间为.                    5分
③若，当或时，；当时，.
所以的单调递减区间为，；
单调递增区间为.                 7分
（3）由（2）知函数在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，在处取得极大值.  8分
由，得.
当或时，；当时，.
所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增.
故在处取得极大值，在处取得极小值. 10分
因为函数与函数的图象有3个不同的交点，
所以，即. 所以.        12分