Question

已知　数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=3S_n（n≥1）
（Ⅰ）求a₂及a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}前n项的和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=3S_n（n≥1），可利用a₂=3S₁，a₃=3S₂，分别求出a₂及a₃的值；
（Ⅱ）由于当n≥2时，

an+1

an

=

3Sn

3Sn-1

=

Sn

Sn-1

=

Sn-1+an

Sn-1

=1+

an

Sn-1

=1+3=4可得出a₂，a₃，…，a_n是以3为首项，公比为4的等比数列，可求出

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=3S_n（n≥1）及a₁=1可得a₂=3S₁=3a₁=3，a₃=3S₂=12
（Ⅱ）当n≥2时，

an+1

an

=

3Sn

3Sn-1

=

Sn

Sn-1

=

Sn-1+an

Sn-1

=1+

an

Sn-1

=1+3=4
因此a₂，a₃，…，a_n是以3为首项，公比为4的等比数列．
当n≥2时　　Sn=1+

3(1-4n-1)

1-4

=4n-1
又n=1时，S₁=1=4^1-1
综上可得：S_n=4^n-1

点评：本题考查数列求和与数列的和与项之间的关系，本题解题的关键是整理出数列具有特殊的性质，比如是一个等比数列．