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     已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点的位置无关的定值，试写出双曲线具有类似特性的性质并加以证明．

     

     

     

     

     

     

     

     

    【答案】

     【解析】可以通过横向类比得：若是上述双曲线上关于原点对称的两点，

    点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，

    那么与之积是与点的位置无关的定值．……4分

    下面给出严格的证明：

    设点，则，其中，又设点的坐标

    为，则，，……8分

    注意到，点在双曲线上，

    故，

    代入可得：

    （常数），　

    即与点的位置无关的定值……12分

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C′：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•南宁二模）设F1、F2分别为椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
    （Ⅰ）若椭圆C上的点A（1，
    3
    2
    ）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
    （Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，Q（0，
    1
    2
    ），求|PQ|的最大值；
    （Ⅲ）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．设对双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1写出具有类似特性的性质（不必给出证明）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆具有性质：若A是椭圆C的一条与x轴不垂直的弦的中点，那么该弦的斜率等于点A的横、纵坐标的比值与某一常数的积．试对双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    写出具有类似特性的性质，并加以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆具有性质：若A，B是椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是椭圆上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为kPA，kPB，那么kPA与kPB之积是与点P位置无关的定值-
    b2
    a2
    ．试对双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0且a，b为常数）写出类似的性质，并加以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，P是椭圆上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值．类比椭圆，写出双曲线C′：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的类似性质，并加以证明．

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