Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC，且AB⊥AC，D，E分别为是A1C1和BB1的中点.

（1）求证：A1C⊥平面ABC1；

（2）求证：DE平面ABC1

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据题意，可得AB⊥平面ACC1A1，那么AB⊥A1C，再由AA1＝AC，且AA1⊥AC，可知A1C⊥AC1，即得证；（2）设，连接BG，DG，证明BEDG是平行四边形，即得证。

证明：（1）因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，

又因为AB⊥AC，AC∩AA1＝A，

所以AB⊥平面ACC1A1，

所以AB⊥A1C，

因为AA1＝AC，且AA1⊥AC，

所以四边形ACC1A1为正方形，

所以A1C⊥AC1，

又AC1∩AB＝A，

所以A1C⊥平面ABC1

（2）设，连接BG，DG，四边形ACC1A1为正方形，

所以G为A1C的中点，

因为D，E分别为是A1C1和BB1的中点，

所以DGBE，

所以四边形BEDG是平行四边形，

所以DE∥BG，

因为BG平面ABC1，DE平面ABC1，

所以DE∥平面ABC1.