Question

（本小题满分14分）

    在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，

．

（Ⅰ）若点在线段上，且满足,求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】第一问中利用线面平行的判定定理，先得到线线平行，根据已知条件得到

过作于，连结，则则，又，所以.

又且，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，

所以.

所以得到线面平行。

第二问中，通过以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

利用平面的法向量的夹角与二面角的大小相等或者互补的结论，借助与代数的手段求解得到二面角的大小。

证明：（Ⅰ）过作于，连结，

则，又，所以.

又且，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，

所以.

又平面，平面，

所以平面.            ……4分

（Ⅱ）因为平面，，故

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知可得

.

显然.

则，

所以.

即，故平面.

（Ⅲ）因为，所以与确定平面，

由已知得，，.               ……9分

因为平面，所以.

由已知可得且，

所以平面，故是平面的一个法向量.

设平面的一个法向量是.

由得    即

令，则.

所以.

由题意知二面角锐角，

故二面角的余弦值为.                            ……14分