Question

（2011•广东模拟）（本小题满分14分 已知函数f(x)=

3

sin2x+2sin(

π

4

+x)cos(

π

4

+x)．
（I）化简f（x）的表达式，并求f（x）的最小正周期；
（II）当x∈[0，

π

2

]  时，求函数f(x)的值域．

Answer 1

分析：（I）利用角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin(2x+

π

6

)，由此根据周期公式即可求得f（x）的最小正周期．
（II）当 x∈[0，

π

2

] 时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，求出sin(2x+

π

6

)的范围，即可求得函数f（x）的值域．

解答：解：（I）∵f(x)=

3

sin2x+sin(

π

2

+2x)…（3分）
=

3

sin2x+cos2x…（4分）
=2sin(2x+

π

6

)．…（6分）
故f（x）的最小正周期为π．…（8分）
（II）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，…（10分）
故sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，…（12分）
故函数f（x）的值域为[-1，2]． …（14分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，三角函数的周期性以及求法，属于中档题．