Question

给出下列4个命题：
①函数f（x）=x|x|+ax+m是奇函数的充要条件是m=0；
②若函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＜1}，则a＜-1；
③函数f（x）=e^-xx²的极小值为f（0），极大值为f（2）；
④圆：x²+y²-10x+4y-5=0上任意点M关于直线ax-y-5a=2的对称点M'也在该圆上．
所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：分别讨论各个选项的正确与错误：利用函数奇偶的定义，得出①是真命题；根据对数函数的性质及不等式的等价变形法则，得出②是假命题；根据利用导数求函数的极值的理论，得出③是真命题；通过计算圆的圆心坐标与直线方程经过定点，发现直线经过圆的圆心，得到④为真命题．

解答：解：对于①，若函数f（x）=x|x|+ax+m是奇函数，则f（0）=m=0，说明充分性成立
反过来，若m=0，则f（x）=x|x|+ax，满足f（-x）=-x|x|-ax=-f（x），
函数是奇函数，故①正确；
对于②，函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|ax+1＞0}，
由题意，若函数定义域是{x|x＜1}，说明a=-1，而不是a＜-1，故②错；
对于③，函数f（x）=e^-xx²=

x 2

e x

，求导数得：f/(x)=

e x(2x-x2)

e2x

=

x(2-x)

e x

当x＜0或x＞2时，f′（x）0，函数为减函数，
因此，函数的极小值为f（0），极大值为f（2），故③正确；
对于④，直线ax-y-5a=2当x=5时y=-2成立，说明直线经过定点A（5，-2），
而圆：x²+y²-10x+4y-5=0的圆心坐标为A（5，-2），直线经过圆的圆心，
可得圆x²+y²-10x+4y-5=0关于直线ax-y-5a=2对称，故④正确．
故答案为：①③④

点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件、命题的真假判断与应用和直线与圆位置关系等知识点，属于中档题．本题综合的知识较多，是一道易错题．