Question

【题目】已知椭圆，如图所示点为椭圆上任意三点．

（Ⅰ）若，是否存在实数，使得代数式为定值．若存在，求出实数和的值；若不存在，说明理由．

（Ⅱ）若，求三角形面积的最大值；

（Ⅲ）满足（Ⅱ），且在三角形面积取得最大值的前提下，若线段与椭圆长轴和短轴交于点（不是椭圆的顶点）．判断四边形的面积是否为定值．若是，求出定值；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）,（2）1（3）2

【解析】试题分析：（1）将坐标代入椭圆方程，根据，消去得（2）由，得联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求AB，根据点到直线距离公式求三角形高，再代入三角形面积公式，最后根据基本不等式求最值，（3）先求E,F坐标，再根据四边形面积公式求面积，计算结果为定值即可.

试题解析：（Ⅰ）由于，且；

得：

所以，即

故，存在实数使得．

（Ⅱ）当直线斜率不存在时，可设为；

联立方程组，得；

由，得，即， ；

当直线斜率存在时，可设为；

联立方程组，得；

由，得，

即，

， ；

等号成立时， ，即．

所以的最大值为1．

（Ⅲ）取得最大值时， ，此时直线与坐标轴的交点恰好分别是椭圆长轴和短轴各一个端点；

不妨取， ，若线段与椭圆长轴和短轴交于点（不是椭圆与坐标轴的交点）．

此时点定在第三象限，即；

直线的方程为，令，得

同理，得

四边形的面积为：