Question

【题目】在直角坐标系中，曲线上的点均在曲线外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与曲线上点的距离的最小值．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与曲线交于不同的两点、，过点的直线与曲线交于另一点，且直线过点，求证：直线过定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）设，则到直线的距离等于，又到圆上的点的距离的最小值为，将 ，化简可得结果；（2）设点，可得直线的方程，直线的方程与直线的方程，结合点在直线上，可得直线的方程得，从而可得结果.

详解：（1）由已知得曲线是以为圆心，为半径的圆．

设，则到直线的距离等于，又到圆上的点的距离的最小值为，

所以由已知可得 ，化简得，

所以曲线的方程为．

（2）设点，易得直线的斜率均存在，

从而直线的斜率，

所以直线的方程是，

即，

同理直线的方程为，

直线的方程为，

点在直线上，所以，即，

点在直线上，，即，

化简得，

代入直线的方程得，

即 直线过定点．