Question

【题目】已知函数f（x）＝lnx﹣sinx+ax（a＞0）．

（1）若a＝1，求证：当x∈（1，）时，f（x）＜2x﹣1；

（2）若f（x）在（0，2π）上有且仅有1个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）（0，1）．

【解析】

（1）构造函数g（x）＝f（x）﹣（2x﹣1），对其求导研究其在x单调性，即可证明结论；

（2）先对f（x）求导，然后把f（x）在（0，2π）上有且仅有1个极值点转化为的零点问题，利用y（a＞0）与函数y＝cosx，x∈（0，）的图象只有一个交点求出a的取值范围即可．

解：（1）证明：当a＝1时，f（x）＝lnx﹣sinx+x，令g（x）＝f（x）﹣（2x﹣1）＝lnx﹣sinx﹣x+1，x，

则，∴g（x）在（1，）上单调递减，

故g（x）＜g（1）＝﹣sin1＜0，所以f（x）＜2x﹣1；

（2）解：由题知，令，所以．

∵在（0，2π）上有且仅有1个极值点，

∴函数y（a＞0）与函数y＝cosx，x∈（0，）的图象只有一个交点，

∴，即，

所以a的取值范围为．