Question

【题目】(2017安徽蚌埠一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设圆T:(x-2)2+y2=,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.

Answer 1

【答案】(1)+y2=1. (2).

【解析】试题分析：

（1）由椭圆的离心率为可得a=4b，c=b，然后根据△PF1F2的周长可得b=1，a=4，从而可得椭圆的方程．（2）由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为y=kx+1，由直线与圆相切可得32k2+36k+5=0，从而得到，．然后分别求出两切线与椭圆交点的横坐标和，最后根据斜率公式求解即可．

试题解析：

(1)由题意得e=，

∴a=4b，

∴c=b．

∵△PF1F2的周长是8+2，

∴2a+2c=8+2，

∴b=1,

∴a=4．

∴椭圆C的方程为+y2=1．

(2)由（1）得椭圆的上顶点为M(0,1)，

又由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为l：y=kx+1，

∵直线y=kx+1与圆T相切，

∴，

整理得32k2+36k+5=0，

∴

由消去y整理得(1+16)x2+32k1x=0，

∴．

同理可得,

∴．

故直线EF的斜率为．