Question

【题目】已知，.

（1）若，判断函数在的单调性；

（2）证明： ，；

（3）设 ，对，，有恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）在单调递增（2）见解析（3）2

【解析】

(1)计算导函数,结合导函数与原函数单调性关系,即可.(2)利用,得到 ,采用裂项相消法,求和,即可.(3)计算导函数,构造新函数,判断最小值,构造函数,计算范围,得到k的最小值，即可。

解：（1）.

又，因此，而，

所以，故在单调递增.

（2）由（1）可知时，，

即，

设，则

因此

即

.

即结论成立.

（3）由题意知，

，

设，

则，

由于，故，

时，单调递增，又，，

因此在存在唯一零点，使，即，

且当，，，单调递减；

，，，单调递增；

故 ，

故

，

设

，又设

故在上单调递增，因此，

即，在单调递增，

，

又，

所以，

故所求的最小值为.