Question

【题目】已知函数在上是增函数．

求实数的值；

若函数有三个零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

根据分段函数的单调性，结合导数判断函数在上单调递增即可；

讨论时不满足题意，则，根据分段函数单调可知在时，已经存在两个零点，在等价为当时，有且只有一个零点，利用参变分离法结合图象进行求解即可。

解：当时，是增函数，且，

故当时，为增函数，即恒成立，

当时，函数的导数恒成立，

当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，

当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，

则，即．

若，则在上是增函数，此时最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．

故，

当时，有一个零点，

当时，，故0也是故的一个零点，

故当时，有且只有一个零点，即有且只有一个解，

即，得，，

则，在时有且只有一个根，

即与函数，在时有且只有一个交点，

，

由得，即得，得，此时函数递增，

由得，即得，得，此时函数递减，

即当时，函数取得极小值，此时极小值为

，

，

作出的图象如图，

要使与函数，在时有且只有一个交点，

则或，

即实数的取值范围是．