Question

【题目】已知函数有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2．

（1）求实数a的取值范围；

（2）求证：x1x2＜a2．

Answer 1

【答案】（1）（e，+∞）；（2）见解析

【解析】

（1）先求导数，再根据导函数有两个不同的零点，确定实数a所需满足的条件，解得结果，（2）先根据极值点解得a，再代入化简不等式x1x2＜a2，设，构造一元函数，利用导数研究函数单调性，最后构造单调性证明不等式.

（1）∵函数，∴x＞0，f′（x）=x-alnx，

∵函数有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2．

∴f′（x）=x-alnx=0有两个不等根，

令g（x）=x-alnx，则=，（x＞0），

①当a≤0时，得g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴g（x）在（0，+∞）上不可能有两个零点．

②当a＞0时，由g′（x）＞0，解得x＞a，由g′（x）＜0，解得0＜x＜a，

则g（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，

要使函数g（x）有两个零点，则g（a）=a-alna＜0，

解得a＞e，∴实数a的取值范围是（e，+∞）．

（2）由x1，x2是g（x）=x-alnx=0的两个根，

则，两式相减，得a（lnx2-lnx1）=x2-x1），

即a=，即证x1x2＜，

即证=，

由x1＜x2，得=t＞1，只需证ln2t-t-，

设g（t）=ln2t-t-，则g′（t）==，

令h（t）=2lnt-t+，∴h′（t）==-（）2＜0，

∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，∴h（t）＜h（1）=0，

∴g′（t）＜0，即g（t）在（1，+∞）上是减函数，∴g（t）＜g（1）=0，

即ln2t＜t-2+在（1，+∞）上恒成立，∴x1x2＜a2．