Question

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC中点，AF=AB=BC=FE=

1

2

AD
（I）求证：BF⊥DM
（Ⅱ）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（I）设P为AD的中点，连接EP，PC，所以EF

∥ .

.

AP

∥ .

.

BC，所以FA∥EP，可得EP⊥平面ABCD，所以EP⊥PC，EP⊥AD，再结合直角三角形的性质可得：ED=CD，进而得到：DM⊥CE，又BF∥EC，所以DM⊥BF．
（II）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A-CD-E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．

解答：解：（I）证明：设P为AD的中点，连接EP，PC，
所以由已知，EF

∥ .

.

AP

∥ .

.

BC
∴EP=PC，FA∥EP，EC∥BF，AB∥PC…（2分）
又∵FA⊥平面ABCD，
∴EP⊥平面ABCD
因为PC、AD?平面ABCD
所以EP⊥PC，EP⊥AD
设FA=a，则EP=PC=PD=a，
∴ED=CD=

2

a…（5分）
∵M为EC的中点，
∴DM⊥CE
∵BF∥EC
∴DM⊥BF．…（6分）
（II）取CD的中点Q，连接PQ，EQ
由（I）知PC=PD，CE=DE
∴PQ⊥CD，EQ⊥CD
∴∠EQP为二面角A-CD-E的平面角…（10分）
由（I）可得，在等边△ECD中EQ=

6

2

a
在等腰Rt△CPD中，PQ=

2

2

a
在Rt△EPQ中，cos∠EQP=

PQ

EQ

=

3

3

故二面角A-CD-E的余弦值为

3

3

．…（12分）

点评：本小题考查线线垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．