Question

正四棱锥的棱长均为a,

（1）求侧面与底面所成角α的余弦;

（2）求相邻两个侧面所成二面角β的余弦;

（3）求证:β=2α.

Answer 1

（1）解析:如图，作高SO和斜高SE,连结OE,

∵棱锥S—ABCD为正四棱锥,∴OE⊥BC.

∴∠SEO为侧面与底面所成的角.

由题知∠SEO=α,

∵SE=a,OE=a,

∴cosα==.

（2）解析:设SA的中点为F,连结BF和DF,

∵△ABS和△ADS都是正三角形，

∴DF⊥SA,BF⊥SA.

∴∠DFB为相邻两侧面所成二面角的平面角.

∴∠DFB=β.

由DF=BF= a,BD=a得

cosβ=.

（3）证明:∵cos2α=2cos²α-1=-,

由（2）得cosβ=-,

0°＜2α＜180°,0°＜β＜180°，∴β=2α.

小结：正棱锥中斜高和斜高在底面上的射影所成的角为侧面与底面所成的角，求侧面与底面所成的角时，通常作出高、斜高及斜高在底面上的射影来组成直角三角形，通过解直角三角形求出要求的角.本例中的（2）求两个侧面所成二面角β的余弦是利用余弦定理求得的.