Question

一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数生成两个数，一
个是，另一个是．设第次生成的数的个数为，
则数列的前项和　         　；若，前次
生成的所有数中不同的数的个数为，则　        　．

Answer 1

,

解析（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a_n}的前n项和S_n
（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是-x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．
解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a_n=2^n-1，
显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a_n}的前n项和
S_n=2ⁿ-1．
（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是-x，另一个是x+3．
第一次生成的数为“1”，
第二次生成的数为“-1、4”，
第三次生成的数为“1、2、-4、7”，
第四次生成的数为“-1、4、-2、5、4、-1、-7、10”
…
可观察出：
第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，
第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，
第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，
第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，
…
以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T_n，则T_n=