Question

【题目】已知圆具有以下性质：设A，B是圆C：上关于原点对称的两点，点P是圆上的任意一点．若直线PA，PB的斜率都存在并分别记为，，则＝﹣1，是与点P的位置无关的定值．

（1）试类比圆的上述性质，写出椭圆的一个类似性质，并加以证明；

（2）如图，若椭圆M的标准方程为，点P在椭圆M上且位于第一象限，点A，B分别为椭圆长轴的两个端点，过点A，B分别作⊥PA，⊥PB，直线，交于点C，直线与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围（可直接使用（1）中证明的结论）．

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）设点，则点，由，由椭圆方程带入化简可得解；

（2）设AP的斜率为k，，结合（1）中的结论可得直线AC、BC和BQ的方程，联立直线方程可得和，由，结合可得解.

（1）性质：设A，B是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上的任意一点．若直线，的斜率都存在并分别记为，，则是与点的位置无关的定值．

证明：设点，则点，从而．设点则，

则，

故是与点P的位置无关的定值．

（2）设AP的斜率为k，，因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以由（1）结论可知，所以BP的斜率为．

因为，所以，则AC的方程为

因为，所以，则BC的方程为.

由，得，即

设，因为，

且直线的斜率，所以的斜率为，则的方程为

联立方程，得，即

则

因为，所以.