Question

如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，，，.
（Ⅰ）证明：丄；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求三棱锥外接球的体积.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）.

解析试题分析：（1）证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等；（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；（3）利用棱锥的体积公式求体积，注意转化为特殊几何体，如长方体、正方体等.
试题解析：解：（Ⅰ）.................4分
（Ⅱ）过作交于点，连接，则为所求角
在三角形中，........................8分
（Ⅲ）求三棱锥外接球即为以为棱的长方体的外接球，长方体的对角线为球的直径
...............12分

考点：（1）直线与直线垂直；（2）二面角的求法；（3）求外接球的体积.