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    下列不等式
    ①已知a＞0，b＞0，则(a+b)(
    1
    a
    +
    1
    b
    )≥4    ；
    ②a2+b2+3＞2a+2b；
    ③已知m＞0，则
    b
    a
    ＜
    b+m
    a+m
    ；
    ④
    		a-1
    +
    		a+1
    ＜2
    		a
    (a＞1)    ．
    其中恒成立的是
    ①②④
    ①②④
    ．（把所有成立不等式的序号都填上）
    分析：逐个判断：选项①由基本不等式可证；选项②可通过作差然后配方来证明；选项③可举反例说明不对；选项④可通过平方作差法证明．
    解答：解：选项①∵a＞0，b＞0，∴(a+b)(
    1
    a
    +
    1
    b
    )    =2+
    b
    a
    +
    a
    b
    ≥2+2
    b
    a
    •
    a
    b
    =4，
    当且仅当a=b时取等号，故(a+b)(
    1
    a
    +
    1
    b
    )≥4    成立；
    选项②，∵a2+b2+3-（2a+2b）=a2-2a+1+b2-2b+1+1=（a-1）2+（b-1）2+1≥1
    ∴a2+b2+3＞2a+2b恒成立；
    选项③，∵
    b
    a
    -
    b+m
    a+m
    =
    b(a+m)-a(b+m)
    a(a+m)
    =
    m(b-a)
    a(a+m)
    ，∴当a=b时，式子为0，
    故
    b
    a
    ＜
    b+m
    a+m
    不一定成立；
    选项④，∵a＞1，∴（
    		a-1
    +
    		a+1
    ）2-（2
    		a
    ）2=a-1+a+1+2
    		a2-1
    -4a=2（
    		a2-1
    -a    ）
    而
    		a2-1
    -a＜0    ，因为a2-1-a2=-1＜0，故
    		a-1
    +
    		a+1
    ＜2
    		a
    成立．
    故答案为：①②④
    点评：本题为不等式的证明，涉及基本不等式和作差法比较大小，属基础题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    x
    x2+1
    ．
    （1）求出函数y=f（x）的单调区间；
    （2）当x∈(-
    3
    4
    ，+∞)    时，证明函数y=f（x）图象在点(
    1
    3
    ，
    3
    10
    )    处切线的下方；
    （3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知a，b，c∈(-
    3
    4
    ，+∞)    ，且a+b+c=1，证明：
    a
    a2+1
    +
    b
    b2+1
    +
    c
    c2+1
    ≤
    9
    10
    ”；
    （4）已知a1，a2，…，an是正数，且a1+a2+…+an=1，借助（3）的证明猜想
    n
    k=1
    ak
    a
    2
    k
    +1
    的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）

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    科目：高中数学 来源：成功之路·突破重点线·数学（学生用书） 题型：013

    已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，α、β为方程f(x)＝x的两根，且0＜α＜β＜，0＜x＜a，给出下列不等式：

    ①x＜f(x)　②a＜f(x)　③x＞f(x)　④a＞f(x)

    其中成立的是

    [　　]

    A．①④
    B．②③
    C．①②
    D．③④

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    科目：高中数学 来源： 题型：022

    有下列命题：

    ①已知a，b为实数，若a2－4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空实数解集．

    ②当2m－1＞0时，如果＞0，那么m＞－4．

    ③若a，b是整数，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两整数根．

    ④若a、b都不是整数，则方程x2＋ax＋b＝0无两整数根．

    ⑤当2m－1＞0时，如果m≤－4，则≤0．

    ⑥已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空实数解，则a2－4b≥0．

    ⑦若方程x2＋ax＋b＝0没有两整数根，则a不是整数或b不是整数．

    ⑧已知a、b为实数，若a2－4b＜0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0的解集为空集．

    ⑨当2m－1＞0时，如果m＞－4，则＞0．

    用序号表示上述命题间的关系（例（1）与（9）互为逆否命题）：其中（1）___________是互为逆命题；（2）___________互为否命题；（3）___________互为逆否命题

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    科目：高中数学 来源：数学教研室 题型：022

    有下列命题：

    ①已知a，b为实数，若a2－4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空实数解集．

    ②当2m－1＞0时，如果＞0，那么m＞－4．

    ③若a，b是整数，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两整数根．

    ④若a、b都不是整数，则方程x2＋ax＋b＝0无两整数根．

    ⑤当2m－1＞0时，如果m≤－4，则≤0．

    ⑥已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空实数解，则a2－4b≥0．

    ⑦若方程x2＋ax＋b＝0没有两整数根，则a不是整数或b不是整数．

    ⑧已知a、b为实数，若a2－4b＜0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0的解集为空集．

    ⑨当2m－1＞0时，如果m＞－4，则＞0．

    用序号表示上述命题间的关系（例（1）与（9）互为逆否命题）：其中（1）___________是互为逆命题；（2）___________互为否命题；（3）___________互为逆否命题

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年江苏省淮安市清江中学高二（上）期末数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数．
    （1）求出函数y=f（x）的单调区间；
    （2）当时，证明函数y=f（x）图象在点处切线的下方；
    （3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知，且a+b+c=1，证明：”；
    （4）已知a1，a2，…，an是正数，且a1+a2+…+an=1，借助（3）的证明猜想的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）

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