Question

将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记a_ij是这个数表的第i行第j列的数．例如a₄₃=17
（Ⅰ）  求该数表前5行所有数之和S；
（Ⅱ）2009这个数位于第几行第几列？
（Ⅲ）已知函数f(x)=

3 x

3n

（其中x＞0），设该数表的第n行的所有数之和为b_n，
数列{f（b_n）}的前n项和为T_n，求证Tn＜

2009

2010

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件，得用等到差数列求和公式直接计算即可．
（Ⅱ）由2009=2×1005-1，知2009是正奇数列的第1005个数．设2009这个数位于第m行，前m-1行共有1+2+3+…+m-1=

m(m-1)

2

个数，所以

m(m-1)

2

＜1005≤

m(m+1)

2

，由此能求出2009这个数位于第几行第几列．
（Ⅲ）第n行的第一个数为2•

n(n-1)

2

+1=n2-n+1，第n行各数形成以n²-n+1为首项，2为公差的等差数列
故bn=n(n2-n+1)+

n(n-1)

2

×2=n3．所以Tn=

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

，再由错位相减法能够证明Tn＜

2009

2010

．

解答：解：（Ⅰ）S=1+3+5+…+29=

15(1+29)

2

=225…（3分）
（Ⅱ）∵2009=2×1005-1，
∴2009是正奇数列的第1005个数．…（5分）
设2009这个数位于第m行，前m-1行共有1+2+3+…+m-1=

m(m-1)

2

个数，…（7分）
则

m(m-1)

2

＜1005≤

m(m+1)

2

，
又m∈N₊，∴m=45…（8分）
故前44行共有990个数，
第45行的第1个数是2×991-1=1981…（9分）
2009=1981+2（n-1），∴n=15
故2009位于第45行第15列．…（10分）
（Ⅲ）证明：第n行的第一个数为2•

n(n-1)

2

+1=n2-n+1，
第n行各数形成以n²-n+1为首项，2为公差的等差数列
故bn=n(n2-n+1)+

n(n-1)

2

×2=n3…（12分）
∴f(bn)=

n

3n

Tn=

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

…（1）

1

3

Tn=

1

32

+

2

33

+…+

n

3n+1

…（2）
（1）-（2）整理得：Tn=

3

4

-

2n+3

4•3n

＜

3

4

＜

2009

2010

．…（14分）

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，综合性强，难度较大，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．