Question

如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M，N，E，F分别是棱A₁B₁，A₁D₁，C₁D₁，B₁C₁的中点．求证：

(1)E，F，B，D四点共面；

(2)平面AMN∥平面BFED．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)连接B1D1，因为E，F分别为C1D1，B1C1的中点，所以FE∥B1D1．又BD∥B1D1，所以FE∥BD．所以E，F，B，D四点共面． 　　(2)连接AC交BD于点O，连接A1C1，分别交MN，B1D1，EF于点G，O1，K，连接AG，OK．因为GO1＝A1O1，KO1＝C1O1，所以GK＝A1C1．又因为AO＝AC，且AC＝A1C1，所以AO＝GK．又AO∥GK，所以四边形AOKG为平行四边形．所以AG∥OK．因为AG平面BFED，OK平面BFED，所以AG∥平面BFED．因为MN∥B1D1∥FE，MN平面BFED，EF平面BFED，所以MN∥平面BFED．又MN∩AG＝G，所以平面AMN∥平面BFED．