Question

已知函数f（x）=

sin2x+2sin2x

sin(x+ π 4 )

．
（1）已知sinα=

1

3

，求f（α）的值；
（2）已知tanα=-

3

4

且0＜α＜π，求f（2α+

π

6

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）分子提取2sinx后，约分化简原式后代入即可求值；
（2）先求得sin2α，cos2α的值，用二倍角的正弦、余弦公式化简f（2α+

π

6

）后代入即可求值．

解答： 解：（1）∵sinα=

1

3

，
∴f（α）=

2sinαcosα+2sin2α

2 2 (sinα+cosα)

=

2sinα(cosα+sinα)

2 2 (sinα+cosα)

=2

2

sinα=

2 2

3

．
（2）∵tanα=-

3

4

且0＜α＜π，
∴sin2α=

2tanα

1+tan2α

=-

24

25

，cos2α=

1-tan2α

1+tan2α

=

7

25

，
∴f（2α+

π

6

）=

sin(4α+ π 3 )+2sin2(2α+ π 6 )

sin(2α+ π 6 + π 4 )

=

2sin(2α+ π 6 )[cos(2α+ π 6 )+sin(2α+ π 6 )]

2 2 [sin(2α+ π 6 )+cos(2α+ π 6 )]

=2

2

sin（2α+

π

6

）=2

2

（sin2α×

3

2

+

1

2

×cos2α）=

7 2 -24 6

25

．

点评：本题主要考察了二倍角的正弦、余弦公式的应用，三角函数中的恒等变换应用，计算量比较大，要认真细心，属于基本知识的考查．