Question

【题目】已知，，.

（1）若，求的值；

（2）当，，且有最小值时，求的值；

（3）当，时，有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由，结合对数运算律，可求出实数的值；

（2）将代入函数的解析式，得出，利用双勾函数的单调性得出内层函数在区间上单调递增，然后分和两种情况讨论，利用外层函数的单调性得出函数的最小值为，即可求出实数的值；

（3）当时，由，可得出，利用参变量分离法得出，求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围.

（1），即，即；

（2），

，

内层函数在区间上单调递增.

当时，外层函数为增函数，则函数在也单调递增，

，解得；

当时，外层函数为减函数，则函数在单调递减，

，解得（舍去）.

综上所述，；

（3），即，，

，，，，，

，依题意有，

而函数，

因为，，，所以.

因此，实数的取值范围是.