Question

如图，在三棱锥P-ABC中，底面△ABC为等边三角形，∠APC=90°，AC=2PA=4，且平面PAC⊥平面ABC．
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）求二面角B-AP-C的余弦值；
（3）判断在线段AC上是否存在点Q，使得△PQB为直角三角形？若存在，找出所有符合要求的点Q，并求

AQ

QC

的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）如图，过P作PO⊥AC，∵平面PAC⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC．
在△APC中，∠APC=90°，AC=2PA=4，∴∠PAC=60°，∴PO=APsin60°=

3

，AO=1．
∴三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

PO×S△ABC=

1

3

×

3

×

3

4

×42=4．
（2）取AC，AB的中点分别为M，N，连接BM，ON．
在等边△ABC中，∵O、N分别为AM、AB的中点，∴ON∥BM，∴ON⊥AC．
由（1）可知：PO⊥平面ABC，∴PO⊥ON，PO⊥OC，因此可以建立如图所示的空间直角坐标系．
A（0，-1，0），B（2

3

，1，0），C（0，3，0），P（0，0，

3

）．
∴

AB

=(2

3

，2，0)，

AP

=(0，1，

3

)．
设

n

=（x，y，z）为平面PAB的一个法向量，则

n

•

AB

=0，

n

•

AP

=0．
∴

2 3 x+2y=0 y+ 3 z=0

，令y=-

3

，则x=1，z=1．∴

n

=(1，-

3

，1)．
∵x轴⊥平面APC，∴可以取

m

=(1，0，0)作为平面APC的法向量．
设二面角B-AP-C的大小为θ，由图可知θ∈(0，

π

2

)．
∴cosθ=

| m • n |

| m || n |

=

1

1+(- 3 )2+1

=

5

5

．
∴二面角B-AP-C的余弦值为

5

5

．
（3）在线段AC上存在点Q，使得△PQB为直角三角形．
设Q（0，m，0）（-1≤m≤3）．
则

PQ

=(0，m，-

3

)，

BQ

=(-2

3

，m-1，0)，

PB

=(2

3

，1，-

3

)．
①当∠PQB=90°时，则

PQ

•

BQ

=0，得m（m-1）=0，解得m=0或1．
当m=0时，Q与O重合，△PQB为直角三角形，且

AQ

QB

=

1

3

；
当m=1时，Q与M重合，△PQB为直角三角形，且

AQ

QB

=1；
②当∠PBQ=90°时，则

PB

•

BQ

=0，得-12+m-1=0，解得m=13，不符合题意，应舍去；
③当∠BPQ=90°时，则

PB

•

PQ

=0，得m+3=0=0，解得m=-3，不符合题意，应舍去．
综上可知：在线段AC上存在点Q，使得△PQB为直角三角形，且

AQ

QB

=

1

3

或

AQ

QB

=1．