Question

如图，F₁，F₂是离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=-

1

2

将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线l上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F₂，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设F₂（c，0），由直线l：x=-

1

2

将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3，解得c=1．再由离心率为e=

2

2

，求出a=

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，不合题意．当直线AB不垂直于x轴时，设存在点M（-

1

2

，m），m≠0，设直线AB的斜率为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

，得(x1+x2)+2(y1+y2)•

y1-y2

x1-x2

=0，推导出k=

1

4m

，直线PQ的斜率为k₁=-4m，由此能推导出存在两点M符合条件，坐标为M（-

1

2

，-

19

19

）和M（-

1

2

，

19

19

）．

解答：解：（Ⅰ）设F₂（c，0），
∵直线l：x=-

1

2

将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3，
∴

c- 1 2

c+ 1 2

=

1

3

，解得c=1．
∵离心率为e=

2

2

，∴a=

2

，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x=-

1

2

，
此时P（-

2

，0），Q（

2

，0），

F2P

•

F2Q

=-1，不合题意．
当直线AB不垂直于x轴时，设存在点M（-

1

2

，m），m≠0，
设直线AB的斜率为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

，得(x1+x2)+2(y1+y2)•

y1-y2

x1-x2

=0，
则-1+4mk=0，故k=

1

4m

，
此时，直线PQ的斜率为k₁=-4m，
PQ的直线方程为y-m=-4m（x+

1

2

），即y=-4mx-m．
联立

y=-4mx-m x2 2 +y2=1

，消去y，整理，得（32m²+1）x²+16m²x+2m²-2=0．
∴x1+x2=-

16m2

32m2+1

，x₁x₂=

2m2-2

32m2+1

，
由题意

F2P

•

F2Q

=0，
∴

F2P

•

F2Q

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+（4mx₁+m）（4mx₂+m）
=（1+16m²）x₁x₂+（4m²-1）（x₁+x₂）+1+m²
=

(1+16m2)(2m2-2)

32m2+1

+

(4m2-1)(-16m2)

32m2+1

+1+m²
=

19m2-1

32m2+1

=0，
∴m=±

19

19

．
∵M在椭圆内，∴m2＜

7

8

，
∴m=±

19

19

符合条件．
综上所述，存在两点M符合条件，坐标为M（-

1

2

，-

19

19

）和M（-

1

2

，

19

19

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标的求法．综合性强，难度大，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．