Question

椭圆E的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率e=,过点C(-1,0)的直线l交椭圆于A、B两点,且满足(λ≥2).

(1)若λ为常数,试用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积;

(2)若λ为常数,当△OAB的面积取得最大值时,求椭圆E的方程;

(3)若λ变化,且λ=k²+1,试问:实数λ和直线l的斜率k(k∈R)分别为何值时,椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程.

Answer 1

解:设椭圆方程为=1(a＞b＞0),

由e=及a²=b²+c²得a²=3b²,

故椭圆方程为x²+3y²=3b².                                            ① 

(1)∵直线l:y=k(x+1)交椭圆于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点,

并且,

∴(x₁+1,y₁)=2(-1-x₂,-y₂),

即                                             ②

把y=k(x+1)代入椭圆方程,得(3k²+1)x²+6k²x+3k²-3b²=0,且k²(3b²-1)+b²＞0,              

∴x₁+x₂=-,                                                  ③

x₁x₂=.                                                   ④ 

∴S_△OAB=|y₁-y₂|=

联立②③得x₂+1=-,

∴S_△OAB=(k≠0).                                               

(2)S_△OAB=≤(λ≥2).

当且仅当3|k|=,即k=±时,S_△OAB取得最大值,此时x₁+x₂=-1.

又∵x₁+1=-λ(x₂+1),

∴x₁=,x₂=-.

代入④得3b²=.

故此时椭圆的方程为x²+3y²=(λ≥2).                                  

(3)由②③联立得x₁=,

将x₁,x₂代入④,得3b²=+1.

由k²=λ-1得3b²=+1=.

易知,当λ≥2时,3b²是λ的减函数,

故当λ=2时,3b²取得最大值5.                                              

所以,当λ=2,k=±1时,椭圆短半轴长取得最大值,

此时椭圆方程为x²+3y²=5.