Question

对实数a和b，定义新运算a⊙b=

a， a-b≤2 b， a-b＞2

，设函数f（x）=（x²-2）⊙（2x-x²），x∈R．若关于x的方程f（x）=m恰有两个实数解，则实数m的取值范围是

m＜-3，或m=-2，或-1＜m＜0

．

Answer 1

分析：根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x²-2）⊙（2x-x²）的解析式，并画出f（x）的图象，关于x的方程f（x）=m恰有两个实数解，转化为y=f（x），y=m图象的交点问题，结合图象求得实数m的取值范围．

解答：解：∵a⊙b=

a， a-b≤2 b， a-b＞2

，
∴（x²-2）-（2x-x²）≤2解得-1≤x≤2，
∴f（x）=（x²-2）⊙（2x-x²）=

x2-2，-1≤x≤2 2x-x2，x＜-1或x＞2

，
画出函数f（x）的图象，与y=m的图象，如右图，
从而可得：m＜-3，或m=-2，或-1＜m＜0，
故答案为：m＜-3，或m=-2，或-1＜m＜0．

点评：本小题主要考查函数的零点与方程根的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．