Question

在如图的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）三棱锥的体积为.

试题分析：（1）证明四边形为平行四边形，进而得到，再利用直线与平面平行的判定定理得到平面；（2）过点作交于点，连接、、，先证明平面，于是得到平面，从而得到，再证明四边形为菱形，从而得到
，利用直线与平面垂直的判定定理得到平面，从而得到；（3）由平面，由，得到平面，从而将三棱锥的体积的计算变换成以点为顶点，以所在平面为底面的三棱锥来计算体积.
试题解析：（1）∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴AD//BG，
∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．   
∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，∴AB∥平面DEG．

（2）证明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．
过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．
∵EG?平面BCFE，∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，
∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，
又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，∴EG⊥平面BHD．
∵BD?平面BHD，∴BD⊥EG．（10分）
（3）∵⊥平面,EF//AD,∴AD⊥平面,故三棱锥A-BED的高为AD
∵,∴S_△AEB ==
∴₌ S_△AEB=（14分）