Question

19、已知函数f（x）=ax³+bx（x∈R），
（1）若函数f（x）的图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的解析式，并确定函数的单调递减区间；
（2）若a=1，且函数f（x）在[-1，1]上是减函数，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据 f'（1）=0，f'（3）=24确定函数的解析式，然后令f'（x）＜0求单调递减区间．
（2）将a=1代入函数f（x）后对函数进行求导，根据f′（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立转化为b≤-3x²在[-1，1]上恒成立求出b的值．

解答：解：（1）已知函数f（x）=ax³+bx（x∈R），∴f′（x）=3ax²+b
又函数f（x）图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行，
且函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（3）=27a+b=24，
且f′（1）=3a+b=0，解得a=1，b=-3
∴f（x）=x³-3x
令f′（x）=3x²-3≤0得：-1≤x≤1，所以函数的单调递减区间为[-1，1]
（2）当a=1时，f（x）=x³+bx（x∈R），又函数f（x）在[-1，1]上是减函数
∴f′（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立
即b≤-3x²在[-1，1]上恒成立∴b≤-3
当b=-3时，f′（x）不恒为0，∴b≤-3

点评：本题主要考查函数的增减性与其导函数的正负的关系．属基础题．